построить график функции 2 в степени х

Выделим у дроби «целую часть»:

Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).

При x дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота это прямая y = 3/2.

Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:

Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.

Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).

Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.

Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.

Выделим целую часть: (2x + 1) / (x 3) = 2 + 7/(x 3).

Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой. При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами.

y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.

Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций многочленов первой степени, т.е. функцию вида

С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.

Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

1. Дробно-линейная функция и ее график

Ольга Л., онлайн репетитор по математике

Функции и их графики

Занимайтесь с лучшими репетиторами через Интернет!

Функции и их графики